Question

【题目】已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）=x+m有区间（﹣1，2）上有唯一实数根，求实数的取值范围（注：相等的实数根算一个）．

Answer 1

【答案】
（1）解：设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），代入f（x+1）﹣f（x）=2x，

得2ax+a+b=2x，对于x∈R恒成立，故 ，又由f（0）=1，得c=1，

解得a=1，b=﹣1，c=1，∴f（x）=x2﹣x+1．

（2）解：由方程f（x）=x+m得x2﹣2x+1﹣m=0，令h（x）=x2﹣2x+1﹣m，x∈（﹣1，2），

即要求函数h（x）在（﹣1，2）上有唯一的零点，

①h（﹣1）=0，则m=4，代入原方程得x=﹣1或3，不符合题意；

②若h（2）=0，则m=1，代入原方程得x=0或2，满足题意，故m=1成立；

③若△=0，则m=0，代入原方程得x=1，满足题意，故m=0成立；

④若m≠4且m≠1且m≠0时，由 得1＜m＜4．

综上，实数m的取值范围是{0}∪[1，4）．

【解析】（1）根据二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1，利用待定系数法，可得f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）=x+m有区间（﹣1，2）上有唯一实数根，则函数h（x）在（﹣1，2）上有唯一的零点，分类讨论，可得实数m的取值范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的概念及其构成要素(函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数)，还要掌握二次函数的性质(增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小)的相关知识才是答题的关键．