Question

20．根据下列条件，求椭圆的标准方程．
（1）两个焦点的坐标分别为（-4，0）和（4，0），且椭圆经过点（5，0）；
（2）中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过（2，0）和（0，1）两点；
（3）经过点（2，-3）且与椭圆9x²+4y²=36有共同的焦点．

Answer 1

分析 （1）设椭圆标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0），利用待定系数当能求出椭圆方程．
（2）设椭圆方程为mx²+ny²=1，m＞0，n＞0．m≠n，利用待定系数当能求出椭圆方程．
（3）求出椭圆9x²+4y²=36焦点为F₁（0，-$\sqrt{5}$），F₂（0，$\sqrt{5}$），设经过点（2，-3）且与椭圆9x²+4y²=36有共同的焦点的椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}=1$，（a＞b＞0），利用待定系数当能求出椭圆方程．

解答 解：（1）设椭圆标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0），
∵两个焦点的坐标分别为（-4，0）和（4，0），且椭圆经过点（5，0），
∴a=5，c=4，b²=25-16=9，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
（2）设椭圆方程为mx²+ny²=1，m＞0，n＞0．m≠n，
∵椭圆经过（2，0）和（0，1）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4m=1}\\{n=1}\end{array}\right.$，解得m=$\frac{1}{4}$，n=1，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（3）∵椭圆9x²+4y²=36化为标准方程，得$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，焦点为F₁（0，-$\sqrt{5}$），F₂（0，$\sqrt{5}$），
∴设经过点（2，-3）且与椭圆9x²+4y²=36有共同的焦点的椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}=1$，（a＞b＞0），
由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{b}^{2}=5}\\{\frac{4}{{b}^{2}}+\frac{9}{{a}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=15，b²=10，
∴所求椭圆方程为$\frac{{{x}^{2}}_{\;}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{15}$=1．

点评 本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质和待定系数法的合理运用．