Question

5．已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，且a+b≠0，有$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}＞0$恒成立．
（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论；
（2）解不等式f（log₂x）＜f（log₄3x）的解集；
（3）若f（x）≤m²-2am+1对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接根据单调性的定义判断和证明该函数为增函数；
（2）根据对数函数的图象和性质列出不等式组解出即可；
（3）问题转化为m²-2am+1≥f（x）_max，再构造函数并通过分类讨论求范围．

解答 解：（1）f（x）在[-1，1]上为增函数，证明如下：
任取x₁，x₂满足-1≤x₁＜x₂≤1，由f（x）为奇函数，
∴$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{f（{x_2}）+f（-{x_1}）}}{{{x_2}+（-{x_1}）}}$，
又因为a，b∈[-1，1]，且a+b≠0，都有$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}＞0$，
∴$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{f（{x_2}）+f（-{x_1}）}}{{{x_2}+（-{x_1}）}}$＞0，
∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
所以f（x）在[-1，1]上为增函数；
（2）原不等式等价于：
$-1≤{log_2}x≤1⇒\frac{1}{2}≤x≤2$，----------------------①
$-1≤{log_4}3x≤1⇒\frac{1}{12}≤x≤\frac{4}{3}$，--------------------②
${log_2}x＜{log_4}3x⇒{log_2}x＜{log_2}\sqrt{3x}⇒0＜x＜3$------③
综合以上三式得，原不等式解集为：$\{x|\frac{1}{2}≤x≤\frac{4}{3}\}$；
（3）f（x）在[-1，1]递增，则f（x）_max=f（1），
∴m²-2am+1≥f（x）_max，即m²-2am≥0对a∈[-1，1]恒成立，
记关于a的函数g（a）=-2m•a+m²，-1≤a≤1，
问题等价为：g（a）_min≥0在a∈[-1，1]上恒成立，
①当m=0时，g（a）=0满足，
②当m＜0时，g（a）递增，令g（a）_min=g（-1）≥0⇒m≤-2；
③当m＞0时，g（a）递减，令g（a）_min=g（1）≥0⇒m≥2，
综合以上讨论得，实数m的取值范围为：（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．

点评 本题主要考查了抽象函数单调性的判断与证明，对数函数的图象与性质，不等式恒成立问题的解法，属于中档题．