Question

设曲线在点处的切线斜率为，且，对一切实数,不等式恒成立．

（1） 求的值；

（2） 求函数的表达式；

（3） 求证:．

 

Answer 1

【答案】

（1）k（1）=1（2）k（x）=x²+x+=（x+1）²；

（3）第二问的基础上，利用均值不等式放缩来得到证明。

【解析】

试题分析：解：（1）根据题意，对一切实数x，不等式恒成立，则当x=1时，有1≤k（1）≤ =1，即1≤k（1）≤1，则k（1）=1

（2）对曲线方程求导可得k（x）=ax²+bx+c， k（-1）=0，则a-b+c=0------①由（1）得，k（1）=1，则a+b+c=1------②由①②得a+c= ，b=；则k（x）=ax²+x+c，又由x≤k(x)≤ (x²+1)恒成立可得， ax²-x+c≥0且（2a-1）x²+1x+（2c-1）≤0恒成立，由ax²+x+c≥0恒成立可得a＞0，≤4ac，由（2a-1）x²+1x+（2c-1）≤0恒成立可得（2a-1）＜0，1≤4（2a-1）（2c-1）得0＜a＜，且≤ac≤

ac=，且a+c=，则a=c=，则k（x）=x²+x+=（x+1）²；

证明：（3）由（2）可得k（x）=（x+1）²，则＞=2（），即）；则即不等式可证．

考点：函数的恒成立、曲线的切线方程

点评：本题综合考查函数的恒成立问题、曲线的切线方程以及放缩法证明不等式，难度较大；解（Ⅱ）题时要注意二次函数大于等于0恒成立的条件．