Question

14．某市政府欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园（如图中阴影部分），形状为直角梯形OPRE（线段EO和RP为两条底边），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中曲线AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线的一部分．
（1）求曲线AF与AB，BF所围成区域的面积；
（2）求该公园的最大面积．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设出抛物线方程y=ax²（a＞0），把F的坐标代入求得a值得答案；
（2）由题意求出E，C的坐标，得到直线EC的方程，设P（x，x²）（0＜x＜2），由梯形面积公式得到公园的面积S，利用导数求得公园的最大面积．

解答 解：（1）以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设曲线AF所在抛物线方程为y=ax²（a＞0），
∵抛物线过F（2，4），∴4=a×2²，得a=1．
∴AF所在抛物线方程为y=x²．
则曲线AF与AB，BF所围成区域的面积$S{=∫}_{0}^{2}{x}^{2}dx=\frac{1}{3}{x}^{2}{|}_{0}^{2}=\frac{8}{3}$ km²；
（2）又E（0，4），C（2，6），则EC所在直线方程为y=x+4．
设P（x，x²）（0＜x＜2），则PO=x，OE=4-x²，PR=4+x-x²，
∴公园的面积S=$\frac{1}{2}（4-{x}^{2}+4+x-{x}^{2}）•x=-{x}^{3}+\frac{1}{2}{x}^{2}+4x$（0＜x＜2）．
∴S′=-3x²+x+4，
令S′=0，得x=$\frac{4}{3}$或x=-1（舍去）．
当x变化时，S′和S的变化情况如下表：

x	（0，$\frac{4}{3}$）	$\frac{4}{3}$	（$\frac{4}{3}，2$）
S′	+	0	-
S	单调递增	极大值$\frac{104}{27}$	单调递减

当x=$\frac{4}{3}$时，S取得最大值$\frac{104}{27}$．
故该公园的最大面积为$\frac{104}{27}$．

点评 本题考查简单的数学建模思想方法，考查了抛物线方程的求法，训练了利用定积分求曲边梯形的面积，考查利用导数求函数的极值，是中档题．