Question

在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于点P，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ=90°，再过二分钟后，该物体位于R点，且∠QOR=60°，则tan²∠OPQ的值等于（　　）

• A、

  4

  9

• B、

  2 3

  9

• C、

  4

  27

• D、以上均不正确

Answer 1

分析：由题意可设PQ=x，则QR=2x，∠POQ=90°，∠QOR=60°∠OPQ+∠R=30°，即∠R=30°-∠OPQ
在△ORQ中，△OPQ中分别利用正弦定理

OQ

sinR

=

QR

sin60°

表示OQ=

2x•sinR

sin60°

=

4 3 x

3

sinR=

4 3 x

3

sin(30°-∠OPQ)
OQ=

OP

sin90°

•sin∠OPQ=xsin∠OPQ从而∴

4 3 x

3

sin(30°-∠OPQ)=xsin∠OPQ，整理可求

解答：解：如下图所示，物体位于点P，一分钟后，其位置在Q点，再过二分钟后，该物体位于R点

∴设PQ=x，则QR=2x，
又∵∠POQ=90°，∠QOR=60°
∠OPQ+∠R=30°，即∠R=30°-∠OPQ
在△ORQ中，由正弦定理得

OQ

sinR

=

QR

sin60°

OQ=

2x•sinR

sin60°

=

4 3 x

3

sinR=

4 3 x

3

sin(30°-∠OPQ)
在△OPQ中，由正弦定理得OQ=

OP

sin90°

•sin∠OPQ=xsin∠OPQ
∴

4 3 x

3

sin(30°-∠OPQ)=xsin∠OPQ
整理可得，tan∠OPQ=

2 3

9

tan2∠OPQ=

4

27

故选C

点评：本题主要考查了利用正弦定理解决实际问题，求解实际问题的关键是要把实际问题转化为数学问题，利用数学知识进行求解．