Question

已知函数f（x）=e^|x|-1-ax．
（I）若f（x）是偶函数，求实数a的值；
（Ⅱ）设a＞0，讨论函数y=f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（I）根据f（x）是偶函数，得f（-1）=f（1），解出a=0，再由偶函数的定义加以验证即可；
（II）根据x≥0和x＜0去绝对值，再用导数研究函数的单调性，可得：当x＜0时，f'（x）＜0恒成立；而当x≥0且0＜a≤

1

e

时，f'（x）＞0在（0，+∞）恒成立；当x≥0且0＜a≤

1

e

时，f'（x）＞0在（lna+1，+∞）上成立，f'（x）＜0在（0，lna+1）上成立．由此加以综合，即可得到函数y=f（x）的单调区间的各种情况．

解答：解：（I）若f（x）是偶函数，则f（-1）=f（1）
可得e^|1|-1-a=e^|-1|-1+a，即1-a=1+a，所以a=0
检验：当a=0时，f（x）=e^|x|-1，得f（-x）=e^|-x|-1=e^|x|-1=f（x），符合题意
因此，实数a的值为0；
（II）①当x≥0时，f（x）=e^x-1-ax，可得
f'（x）=e^x-1-a，当x=lna+1时，f'（x）=0．
∴当0＜a≤

1

e

时，有f'（x）＞0在（0，+∞）恒成立，可得f（x）在（0，+∞）上是增函数
当a＞

1

e

时，f'（x）＞0在（lna+1，+∞）上成立，f'（x）＜0在（0，lna+1）上成立
此时f（x）在（0，lna+1）上是减函数，（lna+1，+∞）上是增函数
②当x＜0时，f（x）=e^-x-1-ax，可得
f'（x）=-e^-x-1-a，可得f'（x）＜0在（-∞，0）上恒成立
∴f（x）在（-∞，0）上是减函数
综上所述，当0＜a≤

1

e

时，f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；
当a＞

1

e

时，f（x）在（-∞，lna+1）上是减函数，在（lna+1，+∞）上是增函数．

点评：本题给出含有指数式且含有绝对值符号的基本初等函数，讨论了函数的单调性和奇偶性，着重考查了利用导数研究函数的单调性和函数奇偶性的定义等知识，属于中档题．