Question

已知f（x）=sin

π

3

（x+1）-

3

cos

π

3

（x+1），则f（1）+f（2）+…+f（2014）=

 

．

Answer 1

分析：利用辅助角公式可得f（x）=2sin[

π

3

（x+1）-

π

3

]=2sin

π

3

x，从而可求f（1）+f（2）+…+f（6）=0，利用函数的周期性即可求得答案．

解答：解：∵f（x）=sin

π

3

（x+1）-

3

cos

π

3

（x+1）
=2[

1

2

sin

π

3

（x+1）-

3

2

cos

π

3

（x+1）]
=2sin[

π

3

（x+1）-

π

3

]
=2sin

π

3

x，
∴其最小正周期T=

2π

π 3

=6，
∴f（1）+f（2）+…+f（6）=2（sin

π

3

+sin

2π

3

+sinπ+sin

4π

3

+sin

5π

3

+sin2π）=0，
∴f（1）+f（2）+…+f（2014）
=f（1）+f（2）+…+f（2010）+f（2011）+f（2012）+f（2013）+f（2014）
=335×0+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）
=2（sin

π

3

+sin

2π

3

+sinπ+sin

4π

3

）
=2（

3

2

+

3

2

+0-

3

2

）
=

3

．
故答案为：

3

．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查三角函数的周期性及其求法，考查三角函数的化简求值，属于中档题．