Question

已知函数f（x）=sin2

π

4

x-

3

sin

π

4

x•cos

π

4

x
（1）求f（x）的最大值及此时x的值；
（2）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：f(x)=

1

2

-sin(

π

2

x+

π

6

)，再根据正弦函数的性质得到当x=4k-

4

3

(k∈z)时，函数有最大值，进而得到答案．
（2）由（1）可得：（1）+f（2）+f（3）+f（4）=1，又函数的周期为4，并且f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）=502×[（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1），进而得到答案．

解答：解：（1）由题意可得：
f(x)=

1

2

-

1

2

cos

π

2

x-

3

2

sin

π

2

x=

1

2

-sin(

π

2

x+

π

6

)，
所以当

π

2

x+

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=4k-

4

3

(k∈z)时，函数有最大值即f(x)max=

3

2

．
（2）由（1）可得：f（1）=

1- 3

2

，f（2）=0，f（3）=

1+ 3

2

，f（4）=0，
所以（1）+f（2）+f（3）+f（4）=1．
又因为函数f（x）的周期为4，
所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）
=502×[（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+

1- 3

2

=

2009- 3

2

．

点评：本题主要考查二倍角公式，以及正弦函数的有关性质，此题属于中档题型，学生解题细心计算得到全分并不难．