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    20、证明：函数f（x）=x2+1是偶函数，且在[0，+∞）上是增加的．
    分析：结合已知条件，检验函数的的定义域关于原点对称，检验f（-x）=（-x）2+1=f（x），进而可证明f（x）是偶函数，利用函数的单调性的定义，只要证明当任意x1＜x2∈[0，+∞）都有f（x1）＜f（x2）证明函数的单调性
    解答：证明：∵f（x）的定义域为R，
    ∴它的定义域关于原点对称，f（-x）=（-x）2+1=f（x）
    所以f（x）是偶函数．
    任取x1，x2且x1＜x2，x1与x2∈[0，+∞）则f（x1）-f（x2）=x12+1-（x22+1）=x12-x22=（x1-x2）（x1+x2）＜0
    ∴f（x1）＜f（x2）∴f（x）在[0，+∞）上是增加的．
    点评：本题主要考查了函数奇偶性的判断及函数在区间上的单调性的证明，主要还是定义的基本运用，熟练掌握基础知识、基本方法是解决本题的关键．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=（x-a）2，g（x）=x，x∈R，a为实常数．
    （1）若a＞0，设F(x)=
    f(x)g(x)
    ，x≠0，用函数单调性的定义证明：函数F（x）在区间[a，+∞）上是增函数；
    （2）设关于x的方程f（x）=|g（x）|在R上恰好有三个不相等的实数解，求a的值所组成的集合．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    探究函数f（x）=x+
    4
    x
    ，x∈（0，+∞）的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：
    x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
    y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.002 4.04 4.3 5 4.8 7.57 …
    请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
    （1）函数f（x）=x+
    4
    x
    （x＞0）在区间
    （0，2）
    （0，2）
    上递减；并利用单调性定义证明．函数f（x）=x+
    4
    x
    （x＞0）在区间
    （2，+∞）
    （2，+∞）
    上递增．当x=
    2
    2
    时，y最小=
    4
    4
    ．
    （2）函数f（x）=x+
    4
    x
    （x＜0）时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•安徽模拟）定义：对于函数f（x），x∈M⊆R，若f（x）＜f'（x）对定义域内的x恒成立，则称函数f（x）为?函数．
    （Ⅰ）证明：函数f（x）=ex1nx为?函数．
    （Ⅱ）对于定义域为（0，+∞）的?函数f（x），求证：对于定义域内的任意正数x1，x2，…，xn，均在f（1n（x1+x2+…+xn））＞f（1nx1）+f（1nx2）．+…+f（1nxn）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    证明：函数f（x）=lnx+2x-6在区间（2，3）内有唯一的零点．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知a∈R，函数f(x)=
    1-
    1
    x
    ，x＞0
    (a-1)x+1，x≤0

    （1）证明：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
    （2）求函数f（x）的零点．

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