Question

19．设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：
①当x＞0时，f（x）是增函数；
②f（x）的图象关于（0，c）对称；
③当b≠0时，方程f（x）=0必有三个实数根；
④当b=0时，方程f（x）=0有且只有一个实根．
其中正确的命题是②④（填序号）

Answer 1

分析 ①当x＞0时f（x）=x²+bx+c的图象是开口向上的抛物线，故不正确；
②通过f（x）=x|x|+bx+c的图象由y=x|x|+bx向上或向下平移|c|个单位及当c=0时f（x）的图象关于原点对称，可知正确；
③令b=1、c=0即可否定结论；
④当b=0时方程即为x|x|+c=0，分c＜0、c≥0两种情况讨论即可．

解答 解：f（x）=x|x|+bx+c=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+bx+c，}&{x≤0}\\{{x}^{2}+bx+c，}&{x＞0}\end{array}\right.$，
①当x＞0时，f（x）=x²+bx+c的图象是开口向上的抛物线，当-$\frac{b}{2}$≤0时f（x）才是增函数，故不正确；
②由f（x）的解析式可知c=0时，f（x）=-f（-x），其图象关于原点对称，
∵f（x）=x|x|+bx+c的图象由y=x|x|+bx向上或向下平移|c|个单位，
∴f（x）的图象关于（0，c）对称，故正确；
③当b≠0时，令b=1、c=0，则方程f（x）=0，
即x|x|+x=0，解得：x=0，故不正确；
④当b=0时，方程f（x）=0，
即x|x|+c=0，
（i）若c＜0，
当x≤0时，即x²=c，此时无解；
当x＞0时，即x²=-c，此时x=-$\sqrt{-c}$；
（ii）若c≥0，
当x≤0时，即x²=c，此时x=-$\sqrt{c}$；
当x＞0时，即x²=-c，此时无解；
综上所述，当b=0时，方程f（x）=0有且只有一个实根，正确；
故答案为：②④．

点评 本题考查分段函数的应用，考查分析问题、解决问题的能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．