Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n，且满足2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若bn=n(

1

2

)an，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设条件，分别令n=1，2，3，能够求出a₁，a₂，a₃．
（Ⅱ）由2S_n=a_n²+a_n，知2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，（n≥2），所以（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅲ）由bn=n(

1

2

)n，知Tn=

1

2

+2×(

1

2

)2+…+n×(

1

2

)n，

1

2

Tn=(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n+1．由此能够求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）a₁=1，a₂=2，a₃=3．（3分）
（Ⅱ）2S_n=a_n²+a_n，①2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，（n≥2）②（5分）
①-②即得（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，（6分）
因为a_n+a_n-1≠0，所以a_n-a_n-1=1，所以a_n=n（n∈N^*）（8分）
（Ⅲ）（Ⅲ）∵bn=n(

1

2

)n，
∴Tn=

1

2

+2×(

1

2

)2+…+n×(

1

2

)n，

1

2

Tn=(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n+1．
两式相减得，

1

2

Tn =

1

2

+(

1

2

)2 +…+(

1

2

)n-n×(

1

2

)n+1
=1-

2+n

2n+1

．
所以Tn=2-

2+n

2n

．（13分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要熟练掌握数列的性质和应用，注意数列通项公式的求法和错位相减法的合理运用．