Question

11．已知点P、A、B、C共面，点O不在该平面内，S_n是等差数列{a_n}的前n项和，且满足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{4}$a₂•$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{2}$a₈•$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{4}$a₄₀₀₈•$\overrightarrow{OC}$，则S₂₀₁₂的值为（　　）

• A． 2010
• B． 2011
• C． 2012
• D． 2013

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{1}{4}{a}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{8}+\frac{1}{4}{a}_{4008}=1$，利用等差数列的性质变形得到a₁+a₂₀₁₂=2．然后代入等差数列的前n项和得答案．

解答 解：∵点P、A、B、C共面，且$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{4}$a₂•$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{2}$a₈•$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{4}$a₄₀₀₈•$\overrightarrow{OC}$，
∴由共面向量基本定理，可得$\frac{1}{4}{a}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{8}+\frac{1}{4}{a}_{4008}=1$，
即a₂+2a₈+a₄₀₀₈=4，
∴（a₂+a₈）+（a₈+a₄₀₀₈）=4，
即2a₅+2a₂₀₀₈=4，
∴2（a₅+a₂₀₀₈）=4，则a₁+a₂₀₁₂=2．
∴S₂₀₁₂=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{2012}）×2012}{2}=2012$．
故选：C．

点评 本题考查空间中四点共面的条件，考查等差数列的性质，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题．