Question

已知二次函数y=g（x）在（-∞，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，最小值为m-1（m≠0），且y=g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，设f(x)=

g(x)

x

．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）上的点P到点Q（0，-2）的距离的最小值为

2

，求m的值；
（Ⅱ）若m=1，方程f（2^x）-k•2^x=0在x∈[-1，1]上有实数解，求实数k的范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据二次函数y=g（x）在（-∞，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，最小值为m-1（m≠0），可知函数在x=1时有最小值，为m-1这样，就可设出函数的顶点式，根据g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，求出a的值，把f（x）化简，用两点间的距离公式求出|PQ|，用含m的式子表示，根据|PQ|的最小值为

2

，求m的值．
（2）先把方程f（2^x）-k•2^x=0化简为2x+

1

2x

-2=k•2x1+(

1

2x

)2-2

1

2x

=k，分离k与x，把

1

2x

=t看做一个整体，1+(

1

2x

)2-2

1

2x

就可看作关于

1

2x

=t的二次函数，判断此函数的单调性，求出值域，m=1，方程f（2^x）-k•2^x=0在x∈[-1，1]上有实数解，则k的值应该在二次函数的值域中．据此解出k的范围．

解答：解：（Ⅰ）依题可设g（x）=a（x-1）²+m-1（a≠0），则g'（x）=2a（x-1）=2ax-2a；
又g′（x）的图象与直线y=2x平行∴2a=2，a=1  
∴g（x）=（x-1）²+m+1=x²-2x+m，f(x)=

g(x)

x

=x+

m

x

-2，
设P（x₀，y₀），则|PQ|²=x₀²+（y₀+2）²=x02+(x0+

m

x0

)2
=2

x

2 0

+

m2

x 2 0

+2m≥2

2m2

+2m=2

2

|m|+2m
当且仅当2

x

2 0

=

m2

x 2 0

时，|PQ|²取得最小值，即|PQ|取得最小值

2

当m＞0时，

(2 2 +2)m

=

2

   解得m=

2

-1m=

2

-1
当m＜0时，

(-2 2 +2)m

=

2

  解得m=-

2

-1            
（Ⅱ）m=1，方程f（2^x）-k•2^x=0化为2x+

1

2x

-2=k•2x1+(

1

2x

)2-2

1

2x

=k，
令

1

2x

=t，k=t²-2t+1
∵x∈[-1，1]∴t∈[

1

2

，2]记∅（t）=t²-2t+1
∴∅（t）在t∈[

1

2

，1]上单调递减，在t∈[1，2]上单调递增，
∴?(

1

2

)=(1-

1

2

)2=

1

4

∅（2）=（2-1）²=1F（1）=（1-1）²=0
根据题意 方程k=t²-2t+1在t∈[

1

2

，2]内有实数解，∴0≤k≤1

点评：本题主要考查了利用函数单调性求值域，以及一元二次方程根的分布的判断．