Question

（2010•湖北模拟）已知函数F(x)=-

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x4+ax3+

a2+5a-2

2

x2+b．（a，b为常数）
（Ⅰ）当a=1时，F（x）=0有两个不相等的实根，求b的取值范围；
（Ⅱ）若F（x）有三个不同的极值点0，x₁，x₂．a为何值时，能使函数F（x）在x₁（或者x₂）处取得的极值为b？
（Ⅲ）若对任意的a∈[-1，0]，不等式F（x）≥-8在[-2，2]上恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=1时，F（x）=0有两个不相等的实根，即函数F（x）的图象与x轴有两个交点，对函数F（x）求导，研究其单调性，得出其图象变化规律及函数的极值，判断出图象与x轴有两个交点的情况极小值大于0即可．
（2）能使函数F（x）在x₁（或者x₂）处取得的极值为b，由于极值F（0）=b，由此说明F（x）=b有两个等根，且x=0必为函数的极大值点，由这两个条件转化出等价的条件，求解即可．
（3）对任意的a∈[-1，0]，不等式F（x）≥-8在[-2，2]上恒成立，故依据单调性判断出函数的最小值，令最小值大于等于-8即可解出参数b的取值范围．

解答：解：F′（x）=-x³+3ax²+（a²+5a-2）x
（Ⅰ）当a=1时，F′（x）=-x³+3x²+4x=-x（x-4）（x+1）
令F′（x）＞0解得x＜-1或0＜x＜4，令F′（x）＜0解得-1＜x＜0或x＞4
故函数在区间（-∞，-1）与（0，4）上是增函数，在（-1，0）与（4，+∞）上是减函数
故函数在x=-1时与x=4时取到极大值，在x=0时取到极小值，
故F（-1）=

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+b，F（4）=32+b，F（0）=b
∵F（x）=0有两个不相等的实根，∴b＞0或者

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＜b＜32
（II）由（Ⅰ）知F（0）=b，由F′（x）=-x³+3ax²+（a²+5a-2）x，故x=0为其一个极值点，若欲使得另两个极值点中的一个的极值也是b，则x=0必为其一个极大值点，且另外一个极值点处的函数值也为b，由F′（x）=-x³+3ax²+（a²+5a-2）x=-x[x²-3ax-（a²+5a-2）]=0，x₁，x₂．必同号，即a²+5a-2＜0   ①
令F（x）=F（0）=b，则(-

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x2+ax +

a2+5a-2

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)x2=0必有两根，且其一根为0故-

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x2+ax +

a2+5a-2

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=0仅有一根
故△=a2+

a2+5a-2

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=0，即3a²+5a-2=0解得a=-2或a=

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  代入①验证知，a=-2或a=

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 符合题意
故当a=-2或a=

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 时，能使函数F（x）在x₁（或者x₂）处取得的极值为b
（III）∵F′（x）=-x³+3ax²+（a²+5a-2）x=-x[x²-3ax-（a²+5a-2）]，显然x=0是其一根
令F′（x）=0的另两根为x₁，x₂，且x₁≤x₂，
∴x₁+x₂=3a，x₁x₂=-（a²+5a-2）
∵a∈[-1，0]，
∴x₁+x₂=3a＜0，x₁x₂=-（a²+5a-2）＞0
∴x₁≤x₂＜0
∵不等式F（x）≥-8在[-2，2]上恒成立，接合上证知
函数F(x)=-

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x4+ax3+

a2+5a-2

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x2+b在[-2，2]上的最小值为F（2）=-4+8a+2a²+10a-4+b
代入不等式F（x）≥-8得8a+2a²+10a+b≥0，即b≥-2a²-18a，
由于a∈[-1，0]，
∴-2a²-18a≤16
故b≥16

点评：本题考点是研究函数的极值，是函数单调性的综合应用题，利用导数研究函数的单调性，再由函数的图象变化规律确定函数的极值与最值，利用函数的图象特征将题设的条件等价转化，本题综合性较强，难度很大，解题时要注意题设条件的转化方向，此是正确解答本题的关键．