Question

已知函数与函数g（x）的图象关于y=x对称，
（1）若g（a）g（b）=2，且a＜0，b＜0，则的最大值为   
（2）设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（2-x）=f（x+2），且当x∈[-2，0]时，f（x）=g（x）-1，若关于x的方程f（x）-=0（a＞1）在区间（-2，6]内恰有三个不同实根，则实数a的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意，由反函数的定义以及对数函数、指数函数的性质可得g（x）=（）^x=2^-x，进而结合题意可得2^-（a+b）=2，即a+b=-1，对变形可得其等于-[5++]，由基本不等式的性质可得+≥4，代入=-[5++]可得其最大值，即可得答案．
（2）根据题意，分析可得函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，将方程f（x）-log_a^x+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=-log_a^x+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．
解答：解：（1）根据题意，g（x）=（）^x=2^-x，
若g（a）g（b）=2，则有2^-（a+b）=2，即a+b=-1，
则=-[（-a）+（-b）][+]=-[5++]，
又由a＜0，b＜0，则＞0且＞0，故+≥4，
则=-[5++]≤-9，
即的最大值为-9；
（2）对于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．
又∵当x∈[-2，0]时，f（x）=（）^x-1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，
若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3个不同的实数解，
则函数y=f（x）与y=-log_a（x+2）在区间（-2，6]上有三个不同的交点，
又f（-2）=f（2）=3，分析可得有 log_a4＜3，且log_a8＞3，解得：＜a＜2，
则a的取值范围是（，2）
故答案为（1）：-9；（，2）．
点评：本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，（1）的关键是根据题意，求出g（x）的解析式，其次要注意题意中a＜0，b＜0的条件，要配凑基本不等式成立的条件．