Question

已知sinα+cosα=

1

5

，且α∈（0，π），则

sin(α+ π 4 )

cos2α

的值为

-

5 2

14

．

Answer 1

分析：首先将所给式子平方求出2cosαsinα，进而结合α的范围得出cosα-sinα＜0，然后求出cosα-sinα的值，再利用二倍角的余弦公式求出cos2α．利用两角和的正弦函数化简分式的分子，即可求出结果．

解答：解：∵sinα+cosα=

1

5

，（cosα+sinα）²=

1

25

，
1+2cosαsinα=

1

25

，2cosαsinα=-

24

25

，
又∵sinα+cosα=

1

5

，α∈（0，π），∴sinα＞0，故cosα＜0
α∈（0，π），cosα-sinα＜0．
又∵（cosα-sinα）²=1-2sinαcosα=

49

25

，从而有cosα-sinα=-

7

5

，
∴cos2α=cos²α-sin²α=（cosα-sinα）（cosα+sinα）=-

7

25

，

sin(α+ π 4 )

cos2α

=

2 2 (sinα+cosα)

cos2α

=-

2 2 × 1 5

7 25

=-

5 2

14

．
故答案为：-

5 2

14

．

点评：本题考查了二倍角的余弦，两角和的正弦函数的应用，解题过程中要注意根据角的范围判断角的符号，属于中档题．