【题目】对于正整数集合,如果去掉其中任意一个元素之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等,就称集合为“和谐集”.
()判断集合是否是“和谐集”(不必写过程).
()请写出一个只含有个元素的“和谐集”,并证明此集合为“和谐集”.
()当时,集合,求证:集合不是“和谐集”.
【答案】(1) 集合不是“和谐集”.
(2) 集合是“和谐集”;证明见解析.
(3)证明见解析.
【解析】
(1)根据定义,判断集合{1,2,3,4,5}不是“和谐集”;(2)集合,根据定义验证即可;(3)不妨设,将集合分成两个交集为空集的子集,且两个子集元素之和相等,则有①,或者②,
将集合分成两个交集为空集的子集,且两个子集元素之和相等,
则有③,或者④,由定义得出矛盾即可证明结论.
()集合不是“和谐集”.
()集合,
证明:∵,
,
,
,
,
,
,
∴集合是“和谐集”.
()证明:不妨设,将集合分成两个交集为空集的子集,且两个子集元素之和相等,则有①,或者②,
将集合分成两个交集为空集的子集,且两个子集元素之和相等,
则有③,或者④,
由①③得,矛盾,由①④得,矛盾,由②③得矛盾,由②④得矛盾,
故当时,集合一定不是“和谐集”.
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【题目】某射击运动员每次击中目标的概率是,在某次训练中,他只有4发子弹,并向某一目标射击.
(1)若4发子弹全打光,求他击中目标次数的数学期望;
(2)若他击中目标或子弹打光就停止射击,求消耗的子弹数的分布列.
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【题目】某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动,决定对某“著名品牌”系列进行市场销售量调研,通过对该品牌的系列一个阶段的调研得知,发现系列每日的销售量(单位:千克)与销售价格(元/千克)近似满足关系式,其中,为常数.已知销售价格为6元/千克时,每日可售出系列15千克.
(1)求函数的解析式;
(2)若系列的成本为4元/千克,试确定销售价格的值,使该商场每日销售系列所获得的利润最大.
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【题目】下表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨标准煤)的四组对应数据.
6 | 8 | 10 | 12 | |
2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;
(2)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为45吨标准煤,试根据(1)中的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:.
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【题目】从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:
分组(重量) | ||||
频数(个) | 5 | 10 | 20 | 15 |
(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在的频率;
(2) 用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个,其中重量在的有几个?
(3) 在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在和中各有1个的概率.
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【题目】已知函数f(x)=x﹣aex﹣e2x(a∈R,e是自然对数的底数). (Ⅰ)若f(x)≤0对任意x∈R恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)若方程x﹣aex=0有两个不同的实数解x1 , x2 , 求证:x1+x2>2.
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【题目】已知数列{an}是各项均为正整数的等差数列,公差d∈N* , 且{an}中任意两项之和也是该数列中的一项.
(1)若a1=4,则d的取值集合为;
(2)若a1=2m(m∈N*),则d的所有可能取值的和为 .
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【题目】(2017·全国卷Ⅲ文,18)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温 | [10,15) | [15,20) | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) |
天数 | 2 | 16 | 36 | 25 | 7 | 4 |
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.
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【题目】甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与,且乙投球3次均未命中的概率为,甲投球未命中的概率恰是乙投球未命中的概率的2倍.
(Ⅰ)求乙投球的命中率;
(Ⅱ)若甲投球1次,乙投球2次,两人共命中的次数记为,求的分布列和数学期望.
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