Question

【题目】(导学号：05856330)

已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝4，a3，a4＋2，a5成等差数列．数列{}的前n项和为Tn.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式以及前n项和Sn的表达式；

(Ⅱ)若Tn<m对任意n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) an＝＝2n－1， Sn＝2n－1 (2) [2，＋∞)

【解析】试题分析：（1）建立等比数列的基本量的方程组，从而得到数列{an}的通项公式以及前n项和Sn的表达式；（2）Tn<m对任意n∈N*恒成立，转求Tn的最值即可.

试题解析：

(Ⅰ)设{an}的公比为q，依题意，2(a4＋2)＝a3＋a5，故2(a3q＋2)＝a3＋a3q2，

因为a3＝4，q≠0，解得q＝2，故an＝a3qn－3＝2n－1，

Sn＝＝2n－1.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得＝()n－1，所以数列{}的前n项和Tn＝＝2(1－)，

因为 >0，所以 Tn＝2(1－)<2，故m≥2，

即实数m的取值范围为[2，＋∞).