Question

【题目】已知函数,

(1)若两函数图象有两个不同的公共点,求实数的取值范围；

(2)若, ,求实数的最大值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：（1）由两函数图象有两个不同的公共点可等价于方程在有两个不同的解，即方程在有两个不同的解，设，求导的函数的单调性，从而求出的最大值，从而可求出实数的取值范围；（2）由在上恒成立，等价于对恒成立，设,则只需,对求导分析其单调性，从而可得，即可得到实数的最大值.

试题解析：(1)解:函数与的图象有两个不同的公共点等价于方程在有两个不同的解,即方程在有两个不同的解.

设,则函数的图象与直线有两个不同的交点.

由，令，有.

列表如下：

	+	0	-
	增函数	极大值	减函数

∴函数有极大值

∵时， ； ，

∴

(注:或①当时,至多有一个公共点；②当时,因为时, , 至多有一个公共点；③当时,因为, ,所以上有一个零点,又,而,所以在上存在一个零点,即时,有两个零点)

(2)由题对恒成立,即对恒成立，即对恒成立，

设,则只需,由,

又∵

∴在为增函数

∴

又∵

∴存在使，即，则

又∵时， , 为减函数, 时, , 为增函数

∴

∴在为增函数

∴

∴ ,故实数的最大值为.