Question

方程表示的曲线为C，给出下列四个命题：①曲线C不可能是圆；②若曲线C为椭圆，则1＜t＜4；③若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4；④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则．其中正确命题序号是________．

Answer 1

③④
分析：根据圆的定义得出当4-t=t-1时，即t=时，表示圆；当（4-t）（t-1）＜0时，即t＜1或t＞4时方程表示双曲线；当满足时，即时方程表示焦点在x轴上的椭圆；当满足时，即＜t＜4时方程表示焦点在y轴上的椭圆，从而得出结论．
解答：由圆的定义可知：当4-t=t-1时，即t=时方程表示圆，故①错误；
由双曲线的定义可知：当（4-t）（t-1）＜0时，即t＜1或t＞4时方程表示双曲线，故③正确；
由椭圆定义可知：（1）当椭圆在x轴上时，当满足时，即时方程表示焦点在x轴上的椭圆，故④正确．
（2））当椭圆在y轴上时，当满足时，即＜t＜4时方程表示焦点在y轴上的椭圆，故②错误．
故答案为：③④．
点评：本题考查了圆锥曲线的标准方程，尤其要注意椭圆在x轴和y轴上两种情况，属于基础题．