Question

将（x+y+z）⁵展开合并同类项后共有    项，其中x³yz项的系数是    ．

Answer 1

【答案】分析：将（x+y+z）⁵展开合并同类项后，每一项都是 m•x^a•y^b•z^c 的形式，且a+b+c=5，其中，m是实数，a、b、c∈N．利用组合模型求解该问题，恰当构造分组模型，
利用组合法解决该问题．
把（x+y+z）⁵ 的展开式看成5个因式（x+y+z）的乘积形式．从中任意选3个因式，这3个因式都取x，另外的2个因式分别取y、z，相乘即得含x³yz项，由此求得含x³yz项的系数．
解答：解：将（x+y+z）⁵展开合并同类项后，每一项都是 m•x^a•y^b•z^c 的形式，且a+b+c=5，其中，m是实数，a、b、c∈N，
构造8个完全一样的小球模型，分成3组，每组至少一个，共有分法种，
每一组中都去掉一个小球的数目分别作为（x+y+z）⁵的展开式中每一项中x，y，z各字母的次数，
小球分组模型与各项的次数是一一对应的．
故 将（x+y+z）⁵展开合并同类项后共有 =21项．
把（x+y+z）⁵ 的展开式看成5个因式（x+y+z）的乘积形式．
从中任意选3个因式，这3个因式都取x，另外的2个因式分别取y、z，相乘即得含x³yz项，故含x³yz项的系数为 =20，
故答案为 21；20．
点评：本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的系数特征，考查构造法解决该问题，关键要构造一个适当的组合模型，属于中档题．