Question

已知S_n是正数数列{a_n}的前n项和，S₁²，S₂²、…、S_n²…，是以3为首项，以1为公差的等差数列；数列{b_n}为无穷等比数列，其前四项之和为120，第二项与第四项之和为90．（1）求a_n、b_n；（2）从数列{}中能否挑出唯一的无穷等比数列，使它的各项和等于．若能的话，请写出这个数列的第一项和公比？若不能的话，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据{S_n²}是以3为首项，以1为公差的等差数列求出通项公式，得到S_n，然后根据a_n=进行求解，根据{b_n}是等比数列，求出首项和公比即可求出b_n；
（2）设可以挑出一个无穷等比数列{c_n}，首项为c₁=（）^p，公比为（）^k，（p、k∈N），它的各项和等于=，建立等式关系，讨论p和k的大小，从而求出满足条件的等比数列．
解答：解：（1）{S_n²}是以3为首项，以1为公差的等差数列；所以S_n²=3+（n-1）=n+2
因为a_n＞0，所以S_n=（n∈N）（2分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-
又a₁=S₁=，所以a_n=（n∈N） （4分）
设{b_n}的首项为b₁，公比为q，则有（6分）
所以，所以b_n=3ⁿ（n∈N）（8分）
（2）=（）ⁿ，设可以挑出一个无穷等比数列{c_n}，首项为c₁=（）^p，公比为（）^k，（p、k∈N），它的各项和等于=，（10分）
则有，所以（）^p=[1-（）^k]，（12分）
当p≥k时3^p-3^p-k=8，即3^p-k（3^k-1）=8，因为p、k∈N，所以只有p-k=0，k=2时，
即p=k=2时，数列{c_n}的各项和为． （14分）
当p＜k时，3^k-1=8.3^k-p，因为k＞p右边含有3的因数，而左边非3的倍数，不存在p、k∈N，
所以唯一存在等比数列{c_n}，首项为，公比为，使它的各项和等于．（16分）
点评：本题主要考查了数列的通项公式，以及等比数列的求和等有关知识，属于中档题．