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已知定点A(3,1),在右焦点为F的双曲线x2
y2
3
=1上,求一点P,使得|PA|十
1
2
|PF|的值最小,并求出这个最小值.
考点:双曲线的简单性质
专题:计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析:根据题意,算出双曲线的离心率e=2,右准线为l:x=
1
2
.作AN⊥l于N,交双曲线右支于P,连结FP,根据圆锥曲线统一定义得到|PA|+
1
2
|PF|=|PA|+|PN|.由平几知识可得:当A、N、P三点共线时,|PA|+|PN|=|AN|达到最小值,由此即可求出点P的坐标和|PA|+
1
2
|PF|的最小值.
解答: 解∵双曲线方程为线x2-
y2
3
=1,
∴a=1,b=
3
,c=2,
可得离心率e=
c
a
=2,
a2
c
=
1
2
,所以右准线为l:x=
1
2

作AN⊥l于N,交双曲线右支于P,连结FP,则
由圆锥曲线统一定义得
|PF|
|PN|
=e,可得|PF|=e|PN|=2|PN|,
∴|PN|=
1
2
|PF|,因此,|PA|+
1
2
|PF|=|PA|+|PN|,
当且仅当A、N、P三点共线时,|PA|+|PN|=|AN|达到最小值
此时,在x2-
y2
3
=1中令y=1,得x=±
2
3
3

∵x>0,∴取x=
2
3
3

即当P的坐标为(
2
3
3
,1)时,|PA|+
1
2
|PF|的最小值为|AN|=3-
1
2
=
5
2
点评:本题着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、圆锥曲线的统一定义等知识,属于中档题.
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2
sin(2x-
π
4
)+2cos2x-1.
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(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a=
3
4
,A=
π
3
,b=f(
12
),求△ABC的面积.

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已知f(x)=sin2x-
3
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(1)在锐角△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,当n=1时,f(A)=
3
,且c=3,△ABC的面积为3
3
,求b的值.
(2)若f(x)的最大值为an(an为数列{an}的通项公式),又数列{bn}满足bn=
1
anan+1
,求数列{bn}的前n项和Tn

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设P:
x2
1-2m
+
y2
m+2
=1表示双曲线,q:函数g(x)=3x2+2mx+m+
4
3
有两个不同的零点.
(1)若p为假命题,求实数m的取值范围,
(2)若p∧q,为假命题,pⅤq为真命题,求实数m的取值范围.

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若等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*,点(n,Sn),均在函数y=2x+r(r为常数)的图象上.(Ⅰ)求an和r的值;
(Ⅱ)记  bn=
n
an+1
,求数列{bn}的前n项和Tn

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