Question

8．如图，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，D、E分别为CC′，A′B中点，CC′=$\sqrt{3}BC$．求证：
（1）直线EC′∥平面ABD；
（2）直线EC⊥平面ABD．

Answer 1

分析 （1）取AB中点O，连接OE、OD，证明四边形EODC'为平行四边形，可得C'E∥OD，即可证明直线EC′∥平面ABD；
（2）连接OC、DE，证明EC⊥OD，AB⊥EC，即可证明直线EC⊥平面ABD．

解答 证明：（1）取AB中点O，连接OE、OD．
∵E、O为A'B，AB中点，∴OE平行且等于$\frac{1}{2}$AA′
又∵C′D平行且等于$\frac{1}{2}$CC′
∴OE平行且等于C′D，
∴四边形EODC'为平行四边形，∴C'E∥OD
又∵OD?面ABD，C'E?面ABD，
∴C'E∥面ABD…（6分）
（2）连接OC、DE
∵三棱柱ABC-A'B'C'为正三棱柱，
∴AA'⊥面ABC，
∴EO⊥面ABC
∵AB，OC?面ABC，
∴EO⊥AB，EO⊥OC
∵$EO=\frac{1}{2}CC'=\frac{{\sqrt{3}}}{2}BC=OC$，
∴四边形EOCD为正方形，∴EC⊥OD
又∵CA=CB，∴AB⊥OC
∵EO、OC是平面EOCC'内的相交直线，∴AB⊥面EOCC'
∵EC?面EOCC'，∴AB⊥EC
∵AB、OD是平面ABD内的相交直线，
∴直线EC⊥平面ABD…（14分）

点评 本题考查线面平行、垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面平行、垂直的判定是关键．