Question

（2011•嘉定区三模）在三棱锥A-BCD中，AD⊥面BCD，BD⊥CD，AD=BD=2，CD=2

3

，E、F分别是AC和BC的中点．
（1）求三棱锥E-CDF的体积；
（2）求二面角E-DF-C的大小（用反三角函数值表示）．

Answer 1

分析：（1）以D为原点，以DB、DC、DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设点E到平面BCD的距离为d，则d=

| n • DE |

| n |

，然后根据锥体的体积公式解之即可．
（2）平面BCD的一个法向量为

n

=(0 ， 0 ， 1)，然后求出平面DEF一个法向量

n

1=(x，y，z)，最后根据设二面角E-DF-C的大小为θ，由图形可知θ是锐角，则二面角的余弦值为cosθ=

| n • n 1|

| n || n 1|

，从而求出二面角．

解答：解：（1）以D为原点，以DB、DC、DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
则D（0，0，0），A（0，0，2），E(0 ， 

3

 ， 1)，…（2分）F(1 ， 

3

 ， 0)，
因为AD⊥平面BCD，所以平面BCD的一个法向量为

n

=(0 ， 0 ， 1)，…（3分）

DE

=(0 ， 

3

 ， 1)，
设点E到平面BCD的距离为d，则d=

| n • DE |

| n |

=1，
即三棱锥E-CDF的高为1，…（4分）
因为点F是BC的中点，所以S_△CDF=S_△BCD，…（5分）
所以三棱锥E-CDE的体积V=

1

3

•S_△CDF=

3

3

．…（7分）
（2）

DE

=(0 ， 

3

 ， 1)，

DF

=(1 ， 

3

 ， 0)，
设平面DEF一个法向量为

n

1=(x，y，z)，则

n

1⊥

DE

，

n

1⊥

DF

，从而

n

1•

DE

=0，

n

1•

DF

=0，即

3 y+z=0 x+ 3 y=0

，…（9分）
取y=-

3

，则x=z=3，

n

1=(3 ， -

3

 ， 3)．…（10分）
设二面角E-DF-C的大小为θ，由图形可知θ是锐角，
所以cosθ=

| n • n 1|

| n || n 1|

=

21

7

．…（11分）
因此，二面角E-DF-C的大小为arccos

21

7

．…（12分）

点评：本题主要考查了锥体的体积计算，以及二面角平面角的度量，同时考查了利用空间向量的方法求解立体几何问题，属于中档题．