Question

已知(

4

x

-1)n=a0+

a1

x

+

a2

x2

+…+

an

xn

，(1+x)2n=b0+b1x+b2x2++b2nx2n(n∈N+)，记M=a₀+a₁+a₂+…+a_n，N=b₀+b₁+b₂+…+b_2n，则

lim

n→∞

2M-N

M+3N

的值是（　　）

• A．2
• B．-

  1

  3

• C．0
• D．

  2

  3

Answer 1

分析：通过二项式定理对x赋值，求出M，N，然后利用数列极限的运算方法求解所求极限即可．

解答：解：因为(

4

x

-1)n=a0+

a1

x

+

a2

x2

+…+

an

xn

．
所以当x=1时，有(

4

1

-1)n=a0+

a1

1

+

a2

12

+…+

an

1n

，
即M=a₀+a₁+a₂+…+a_n=3ⁿ，
因为（1+x）²ⁿ=b₀+b₁x+b₂x²+…+b_2nx²ⁿ（n∈N₊），
所以当x=1时，（1+1）²ⁿ=b₀+b₁+b₂+…+b_2n，
即N=b₀+b₁+b₂+…+b_2n=2²ⁿ=4ⁿ，
所以

lim

n→∞

2M-N

M+3N

=

lim

n→∞

2×3n-4n

3n+3×4n

=

lim

n→∞

2×( 3 4 )n-1

( 3 4 )n+3

=-

1

3

．
故选B．

点评：本题是中档题，考查赋值法在二项式定理的应用，数列极限的应用，考查计算能力．