【题目】已知点A(0,﹣2),椭圆E: =1(a>b>0)的离心率为 ,F是椭圆的焦点,直线AF的斜率为 ,O为坐标原点.
(Ⅰ)求E的方程;
(Ⅱ)设过点A的直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
【答案】解:(Ⅰ) 设F(c,0),由条件知 ,得 又 ,所以a=2,b2=a2﹣c2=1,故E的方程 .
(Ⅱ)依题意当l⊥x轴不合题意,故设直线l:y=kx﹣2,设P(x1 , y1),Q(x2 , y2)
将y=kx﹣2代入 ,得(1+4k2)x2﹣16kx+12=0,
当△=16(4k2﹣3)>0,即 时,
从而
又点O到直线PQ的距离 ,所以△OPQ的面积 = ,
设 ,则t>0, ,
当且仅当t=2,k=± 等号成立,且满足△>0,
所以当△OPQ的面积最大时,l的方程为:y= x﹣2或y=﹣ x﹣2
【解析】(Ⅰ)通过离心率得到a、c关系,通过A求出a,即可求E的方程;(Ⅱ)设直线l:y=kx﹣2,设P(x1 , y1),Q(x2 , y2)将y=kx﹣2代入 ,利用△>0,求出k的范围,利用弦长公式求出|PQ|,然后求出△OPQ的面积表达式,利用换元法以及基本不等式求出最值,然后求解直线方程.
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【题目】已知命题p:(x+1)(x﹣5)≤0,命题q:1﹣m≤x<1+m(m>0).
(1)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围;
(2)若m=5,“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数x的取值范围.
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【题目】现有甲乙两船,其中甲船在某岛B的正南方A处,A与B相距7公里,甲船自A处以4公里/小时的速度向北方向航行,同时乙船以6公里/小时的速度自B岛出发,向北60°西方向航行,问分钟后两船相距最近.
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【题目】已知函数f(x)=bax(a>0,且a≠1,b∈R)的图象经过点A(1,6),B(3,24).
(1)设g(x)= ﹣ ,确定函数g(x)的奇偶性;
(2)若对任意x∈(﹣∞,1],不等式( )x≥2m+1恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】已知二次函数g(x)=mx2﹣2mx+n+1(m>0)在区间[0,3]上有最大值4,最小值0.
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式;
(Ⅱ)设f(x)= .若f(2x)﹣k2x≤0在x∈[﹣3,3]时恒成立,求k的取值范围.
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【题目】设直线l:3x+4y+4=0,圆C:(x﹣2)2+y2=r2(r>0),若圆C上存在两点P,Q,直线l上存在一点M,使得∠PMQ=90°,则r的取值范围是 .
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