Question

11．在数列{a_n}中，S_n为它的前n项和，已知a₂=4，a₃=15，且数列{a_n+n}是等比数列，则S_n=3ⁿ-$\frac{{n}^{2}+n}{2}-1$．

Answer 1

分析 根据{a_n+n}是等比数列，求出{a_n+n}的公比，然后求出数列{a_n}的通项公式，利用分组求和法进行求解，即可得到结论．

解答 解：∵{a_n+n}是等比数列，
∴数列{a_n+n}的公比q=$\frac{{a}_{3}+3}{{a}_{2}+2}$=$\frac{15+3}{4+2}=\frac{18}{6}=3$，
则{a_n+n}的通项公式为a_n+n=（a₂+2）•3^n-2=6•3^n-2=2•3^n-1，
则a_n=2•3^n-1-n，
则S_n=$\frac{2（1-{3}^{n}）}{1-3}$-$\frac{n（1+n）}{2}$=3ⁿ-$\frac{{n}^{2}+n}{2}-1$，
故答案为：3ⁿ-$\frac{{n}^{2}+n}{2}-1$

点评 本题主要考查数列和的计算，根据等比数列的定义求出等比数列的通项公式，利用分组求和法是解决本题的关键．