Question

已知函数f（x）为二次函数，不等式f（x）+2＜0的解集为，且对任意的a，β∈R，恒有f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若数列{a_n}满足，求数列{a_n}的通项公式；
（3）设，在（2）的条件下，若数列{b_n}的前n项和为S_n，求数列{S_n•cos（b_nπ）}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由不等式的解集设出f（x）+2的两根式，对角α，β取特值后得到f（1）=1，由此可取函数f（x）的解析式；
（2）求出f（a_n+1），f（a_n），代入已知的等式中化简得到数列{}为等差数列，求出数列{}的通项公式后可求数列{a_n}的通项公式；
（3）由，求出cos（b_nπ），然后分n为偶数和奇数讨论求解数列{S_n•cos（b_nπ）}的前n项和T_n．
解答：解：（1）设f（x）+2=，即．
取，代入f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0，则f（1）≤0，f（1）≥0同时成立，
故f（1）=0，解得a=，故；
（2）∵=．
∴3=．
即．故数列{}为等差数列．
∵，∴，；
（3）∵b_n=3n-2，∴
即，∴．
①当n为偶数时，T_n=（-S₁+S₂）+（-S₃+S₄）+…+（-S_n-1+S_n）
=．
②当n为奇数时，
．
综上，．
点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了数列的函数特性，考查了数列的递推式及数列的和，考查了分类讨论的数学思想方法，考查了学生综合处理和解决问题的能力，是有一定难度题目．