Question

已知A₁、A₂是平面内两个定点，且|A₁A₂|=2c（c＞0），若动点M与A₁、A₂连线的斜率之积等于常数m（m≠0），求点M的轨迹方程，并讨论轨迹形状与m值的关系．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：以A₁、A₂连线为x轴，A₁A₂的垂直平分线为y轴，建立坐标系，设M（x，y），则

y

x+c

•

y

x-c

=m，由此能够导出动点P的轨迹C的方程，分类讨论，即可得出结论．

解答： 解：以A₁、A₂连线为x轴，A₁A₂的垂直平分线为y轴，建立坐标系，则A₁（-c，0）、A₂（c，0）
设M（x，y），则

y

x+c

•

y

x-c

=m
整理得

x2

c

-

y2

cm

=1（m≠0，x≠±c）
当m＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线（除去顶点）
②当-1＜m＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（除去长轴两个端点）
③当m=-1时，轨迹C为以原点为圆心，

c

的半径的圆除去点（-c，0），（c，0）
④当m＜-1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）．

点评：本题考查轨迹方程，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．