Question

解答题 如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且，|BC|＝2|AC|． (1) 建立适当的坐标系，求椭圆方程； (2) 如果椭圆上有两点P、Q，使∠PCQ的平分线垂直于AO，证明：．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，设A(2，0)，则椭圆方程为∵O为椭圆中心，∴由对称性知|OC|＝|OB| 又∵，∴AC⊥BC又∵|BC|＝2|AC|，∴|OC|＝|AC| ∴△AOC为等腰直角三角形∴点C的坐标为(1，1)∴点B的坐标为(－1，－1)将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得，则求得椭圆方程为
(2)	证：由于∠PCQ的平分线垂直于OA(即垂直于x轴)，不妨设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为－k，因此直线PC、QC的方程分别为y＝k(x－1)＋1，y＝－k(x－1)＋1由得：(1＋3k2)x2－6k(k－1)x＋3k2－6k－1＝0(*)∵点C(1，1)在椭圆上，∴x＝1是方程(*)的一个根，∴xP?＝即xP＝同理xQ＝∴直线PQ的斜率为又∵，∴．