Question

求下列函数的定义域和值域：
（1）y=x+

2x+1

+1；
（2）y=

3x2+3x+1

x2+x+1

．

Answer 1

分析：（1）根据偶次根式的被开方数大于等于0建立关系式，解之即可求定义域，然后利用换元法可求函数的值域；
（2）根据分式函数的分母不等于0可求出函数的定义域，利用判别式法求函数的值域即可．

解答：解：（1）2x+1≥0，解得x≥-

1

2

∴y=x+

2x+1

+1的定义域为[-

1

2

，+∞）
设

2x+1

=t，t≥0则x=

t2-1

2

∴y=

t2-1

2

+t+1=

1

2

t2+t+

1

2

=

1

2

（t+1）²≥

1

2

，当t=0时取等号
故函数y=x+

2x+1

+1的值域为[

1

2

，+∞）
（2）x²+x+1恒大于0，故定义域为R
y=

3x2+3x+1

x2+x+1

可变形成（y-3）x²+（y-3）x+y-1=0
当y≠3时，关于x的方程有解即△=（y-3）²-4（y-3）（y-1）≥0
解得

1

3

≤y＜3
当y=3时，方程无解
故函数的定义域为R，值域为[

1

3

，3）

点评：本题主要考查了函数的定义域和值域，以及利用换元法和判别式法求函数的值域，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．