Question

【题目】已知函数f（x）=x2+alnx﹣x（a≠0），g（x）=x2 ． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的a∈（1，+∞），总存在x1 ， x2∈[1，a]，使得f（x1）﹣f（x2）＞g（x1）﹣g（x2）+m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
令2x2﹣x+a=0，△=1﹣8a
①当△=1﹣8a≤0，即 时，2x2﹣x+a≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，
故函数f（x）的单增区间为（0，+∞），无单减区间．
②当△＞0，即 时，由2x2﹣x+a=0解得 或
i）当 时，0＜x1＜x2 ，
所以当 或 时f′（x）＞0
当 时f′（x）＜0
③当a≤0时，
所以当 时f′（x）＞0，当 时f′（x）＜0；
综上所述：
当 时，函数f（x）的单增区间为（0，+∞），无单减区间．
当 时，函数f（x）的单增区间为 和 ，
单减区间为 ．
当a≤0时，函数f（x）的单增区间为 ，单减区间为 ．
（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣x﹣x2=alnx﹣x，x∈[1，a]．
原问题等价于：对任意的a∈（1，+∞），总存在x1 ， x2∈[1，a]，使得F（x1）﹣F（x2）＞m成立，
即F（x）max﹣F（x）min＞m．
∵ ，∵a∈（1，+∞），x∈[1，a]，
∴F′（x）＞0，∴F（x）在x∈[1，a]上单调递增，
∴F（x）≤F（x）max﹣F（x）min=F（a）﹣F（1）=alna﹣a+1，
即alna﹣a+1＞m对任意的a∈（1，+∞）恒成立，
令h（a）=alna﹣a+1，a∈（1，+∞），只需h（a）min＞m，
h′（a）=lna，∵a∈（1，+∞），∴h′（a）＞0，∴h（a）在a∈（1，+∞）上单调递增，
∴h（a）＞h（1）=0，
所以m≤0．
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间即可；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣x﹣x2=alnx﹣x，x∈[1，a]．原问题等价于：对任意的a∈（1，+∞），总存在x1 ， x2∈[1，a]，使得F（x1）﹣F（x2）＞m成立，即F（x）max﹣F（x）min＞m，根据函数的单调性求出m的范围即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．