Question

对于函数f₁（x），f₂（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），那么称h（x）为f₁（x），f₂（x）的生成函数．
（Ⅰ）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f₁（x），f₂（x）的生成函数？并说明理由；
    第一组：f1(x)=sinx，  f2(x)=cosx，  h(x)=sin(x+

π

3

)；
    第二组：f₁（x）=x²-x，f₂（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1；
（Ⅱ）设f1(x)=log2x，  f2(x)=log

1

2

x，  a=2，  b=1，生成函数h（x）．若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）设f1(x)=x，   f2(x)=

1

x

   (1≤x≤10)，取a=1，b＞0，生成函数h（x）使h（x）≥b恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化简h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），使得与h(x)=sin(x+

π

3

)相同，求出a，b判断结果满足题意；类似方法计算判断第二组．
（Ⅱ）设f1(x)=log2x，  f2(x)=log

1

2

x，  a=2，  b=1，生成函数h(x)=2f1(x)+f2(x)=2log2x+log

1

2

x=log2x．化简不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0，在x∈[2，4]上有解，就是求t＜-3h²（x）-2h（x）=-3log₂²x-2log₂x的最小值，即可．
（Ⅲ）设f1(x)=x，   f2(x)=

1

x

   (1≤x≤10)，取a=1，b＞0，生成函数h(x)=x+

b

x

 (1≤x≤10)
使h(x)=x+

b

x

≥ b  (1≤x≤10)恒成立，分类讨论

b

∈[1，  10]；

b

≤1；

b

≥10，求出b的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）①设asinx+bcosx=sin(x+

π

3

)，即asinx+bcosx=

1

2

sinx+

3

2

cosx，
取a=

1

2

，  b=

3

2

，所以h（x）是f₁（x），f₂（x）的生成函数．（2分）
②设a（x²+x）+b（x²+x+1）=x²-x+1，即（a+b）x²+（a+b）x+b=x²-x+1，
则

a+b=1 a+b=-1 b=1

，该方程组无解．
所以h（x）不是f₁（x），f₂（x）的生成函数．（4分）

（Ⅱ）h(x)=2f1(x)+f2(x)=2log2x+log

1

2

x=log2x（5分）
若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，
3h²（x）+2h（x）+t＜0，即t＜-3h²（x）-2h（x）=-3log₂²x-2log₂x（7分）
设s=log₂x，则s∈[1，2]，y=-3log₂²x-2log₂x=-3s²-2s，（9分）
y_max=-5，故，t＜-5．（10分）

（Ⅲ）由题意，得h(x)=x+

b

x

  (1≤x≤10)
1°若

b

∈[1，  10]，则h（x）在[ 1 ， 

b

]上递减，在[

b

，10]上递增，
则hmin=h(

b

)=2

b

，
所以

1≤ b ≤10 2 b ≥b

，得1≤b≤4（12分）
2°若

b

≤1，则h（x）在[1，10]上递增，则h_min=h（1）=1+b，
所以

b ≤1 1+b≥b

，得0＜b≤1．（14分）
3°若

b

≥10，则h（x）在[1，10]上递减，则hmin=h(10)=10+

b

10

，故

b ≥10 10+ b 10 ≥b

，无解
综上可知，0＜b≤4．（16分）

点评：本题考查其他不等式的解法，函数的概念及其构成要素，函数恒成立问题，考查值思想，分类讨论，计算能力，函数与方程的思想，是中档题．