Question

对x∈R，定义sgn(x)=

1，x＞0 0，x=0 -1，x＜0

．
（I）求方程x²-3x+1=sgn（x）的根；
（II）求函数f（x）=sgn（x-2）（x-lnx）的单调区间；
（III）记点集S={（x，y）|x^sgn（x-1）•y^sgn（y-1）=10}，x＞0，y＞0，点集T={（lgx，lgy）|（x，y）∈S}，求点集T围成的区域的面积．

Answer 1

分析：（I）根据定义sgn(x)=

1，x＞0 0，x=0 -1，x＜0

，对x进行讨论，解一元二次方程即可求得结果；
（II）根据函数解析式求得函数的定义域{x|x＞0}，对x进行讨论，求导，令导数大于零（小于零），解不等式即可求得函数的单调递增（单调递减）区间；
（III）根据定义求得点集TT={（x，y）||x|+|y|=1}，从而点集T围成的区域的面积．

解答：解：（I）当x＞0时，sgn（x）=1，解方程x²-3x+1=1，得x=0（舍）或x=3
当x=0时，sgn（x）=0，0不是方程x²-3x+1=0的解
当x＜0时，sgn（x）=-1，解方程x²-3x+1=-1，得x=1（舍）或x=2（舍）
综上所述，x=3是方程x²-3x+1=sgn（x）的根．（3分）
（II）函数f（x）的定义域是{x|x＞0}（4分）
当x＞2时，f（x）=x-lnx，f′(x)=1-

1

x

＞0恒成立（5分）
当0＜x＜2时，f（x）=-（x-lnx），f′(x)=

1

x

-1
解f'（x）＞0得0＜x＜1或x＞2（16分），
解f'（x）＜0得1＜x＜2（7分）
综上所述，函数f（x）=sgn（x-2）•（x-lnx）的单调增区间是（0，1），（2，+∞），单调减区间是（1，2）．（8分）
（ III）设点P（x，y）∈T，则（10^x，10^y）∈S．
于是有(10x)sgn(10x-1)•(10y)sgn(10y-1)=10，
得x•sgn（10^x-1）+y•sgn（10^y-1）=1
当x＞0时，10^x-1＞0，sgn（10^x-1）=1，xsgn（10^x-1）=x
当x＜0时，10^x-1＜0，sgn（10^x-1）=-1，xsgn（10^x-1）=-x
∴xsgn（10^x-1）=|x|
同理，T={（x，y）||x|+|y|=1}（11分）
点集T围成的区域是一个边长为

2

的正方形，面积为2．（13分）

点评：此题是个中档题．考查分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力和计算能力．