Question

【题目】已知函数和同时满足以下两个条件：

（1）对于任意实数，都有或；

（2）总存在，使成立．

则实数的取值范围是 __________．

Answer 1

【答案】

【解析】

由于g（x）=≥0时，x≥3，根据题意有f（x）=m（x﹣m）（x+2m+3）＜0在x≥3时成立；由于x∈（﹣∞，﹣1），f（x）g（x）＜0，而g（x）=3x﹣3＜0，则f（x）=m（x﹣m）（x+2m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣1）时成立．由此结合二次函数的性质可求出结果．

对于①∵g（x）=，当x＜3时，g（x）＜0，

又∵①x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0

∴f（x）=m（x﹣m）（x+2m+3）＜0在x≥3时恒成立

则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（3，0）的左面，

即 可得﹣3＜m＜0

又∵②x∈（﹣∞，﹣1），f（x）g（x）＜0

∴此时g（x）=＜0恒成立

∴f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＞0在x∈（﹣∞，﹣1）有成立的可能，

则只要﹣1比x1，x2中的较小的根大即可，

（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣2m﹣3，f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＞0在x∈（﹣∞，﹣1）有成立的可能，

（ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣1，f（x）<0在区间内恒成立，故不满足题意。

（iii）当﹣3＜m＜﹣1时，较小的根为m，f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＞0在x∈（﹣∞，﹣1）有成立的可能，

综上可得①②成立时﹣3＜m＜﹣1或-1<m<0.

故答案为：．