Question

【题目】设函数G（x）=xlnx+（1﹣x）ln（1﹣x）．
（1）求G（x）的最小值：
（2）记G（x）的最小值为e，已知函数f（x）=2aex+1+ ﹣2（a+1）（a＞0），若对于任意的x∈（0，+∞），恒有f（x）≥0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得

令G'（x）＜0，得 ；令G'（x）＞0，得 ，

所以G（x）的单调减区间为 ，单调增区间为

从而

（2）解：由（1）中c=﹣ln2得

所以

令g（x）=ax2ex﹣（a+1），则g'（x）=ax（2+x）ex＞0

所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，

因为g（0）=﹣（a+1），且当x→+∞时，g（x）＞0，

所以存在x0∈（0，+∞），使g（x0）=0，

且f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增

因为 ，所以 ，

即 ，因为对于任意的x∈（0，+∞），恒有f（x）≥0成立，

所以

所以 ，即 ，

亦即 ，所以

因为 ，所以 ，

又x0＞0，所以0＜x0≤1，从而 ，

所以 ，故

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的最小值，结合题意从而求出a的范围即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．