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    如图，设椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    a2
    =1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，短轴的两个端点分别为A，B，且满足|
    F1A
    +
    F1B
    |=|
    F2A
    -
    F2B
    |，椭圆C经过点（
    		2
    ，1）．
    （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
    （Ⅱ）设过点M（
    2
    3
    ，0）且斜率为k的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，问：在x轴的正半轴上是否存在一个定点T，使得无论直线l如何转动，以PQ为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题
    专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
    分析：（I）由|
    F1A
    +
    F1B
    |=|
    F2A
    -
    F2B
    |得2b=2c，即b=c，根据椭圆C经过点（
    		2
    ，1），求出几何量，即可求椭圆C的标准方程；
    （Ⅱ）分类讨论，设l的方程为y=k（x-
    2
    3
    ），代入椭圆方程，利用韦达定理，证明
    PT
    •
    QT
    =0，即可得出结论．
    解答： 解：（I）设椭圆的半焦距为c（c＞0），由|
    F1A
    +
    F1B
    |=|
    F2A
    -
    F2B
    |得2b=2c，即b=c，
    得a2=b2+c2=2b2，
    ∵椭圆C经过点（
    		2
    ，1），
    ∴
    2
    2b2
    +
    1
    b2
    =1，
    ∴b2=2，a2=4，
    ∴椭圆C的标准方程为
    x2
    4
    +
    y2
    2
    =1；
    （II）当直线l与x轴垂直时，将x=
    2
    3
    代入到椭圆C的标准方程中得y=±
    4
    3
    ，
    ∵
    4
    3
    +
    2
    3
    =2    ，∴存在T（2，0）满足条件；
    直线l与x轴不垂直时，设其斜率为k，下面证明无论k为何值，T（2，0）满足条件．
    设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意l的方程为y=k（x-
    2
    3
    ），
    代入椭圆方程，消去y，可得（1+2k2）x2-
    8
    3
    k2x+
    8
    9
    k2-4=0，
    ∴x1+x2=
    8
    3
    k2
    1+2k2
    ，x1x2=
    8
    9
    k2-4
    1+2k2
    ，
    ∴
    PT
    •
    QT
    =（1+k2）x1x2-（2+k2）（x1+x2）+
    4
    9
    k2+4=0，
    ∴无论k为何值，
    PT
    •
    QT
    =0，即以PQ为直径的圆恒过定点T（2，0）．
    点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    ①若k＞0，则方程x2+2x-k=0有实根；
    ②“若a＞b，则ac＞bc”的否命题；
    ③“矩形的对角线相等”的逆命题；
    ④“若xy=0，则x、y至少有一个为零”的逆否命题．
    以上命题中的真命题有（　　）
    A、①③B、①④C、②③D、③④

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系中，已知点E（-1，0）和F（1，0），圆E是以E为圆心，半径为2
    		2
    的圆，点P是圆E上任意一点，线段FP的垂直平分线l和半径EP所在的直线交于点Q．
    （Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程T；
    （Ⅱ）已知M，N是曲线T上的两点，若曲线T上存在点P，满足
    OM
    +
    ON
    =λ
    OP
    （O为坐标原点），求实数λ的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=aex（x+1）（其中e=2.71828…），g（x）=x2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线．
    （Ⅰ）求函数f（x），g（x）的解析式；
    （Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞-3）上的最小值；
    （Ⅲ）判断函数F（x）=2f（x）-g（x）+2零点个数．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知动圆过定点（1，0），且与直线x=-1相切．
    （1）求动圆圆心C的轨迹方程；
    （2）设A、B是轨迹C上两个不同的点，且OA⊥OB，证明直线AB恒过定点，并求定点的坐标．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知x+5y≤60，5x+3y≤40，x∈N，y∈N，求Z=200x+150y的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，以
    		3
    2
    为离心率的椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A和B，点P是椭圆位于x轴上方的一点，且△PAB的面积最大值为2．
    （Ⅰ）求椭圆方程；
    （Ⅱ）设点Q是椭圆位于x轴下方的一点，直线AP、BQ的斜率分别为k1，k2，若k1=7k2，设△BPQ与△APQ的面积分别为S1，S2，求S1-S2的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=alnx-（1+a）x+
    1
    2
    x2，a∈R
    （Ⅰ）当0＜a＜1时，求函数f（x）的单调区间和极值；
    （Ⅱ）当x∈[
    1
    e
    ，+∞）时f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    x
    x+2
    ，x∈(
    1
    2
    ，1]
    -
    1
    2
    x+
    1
    4
    ，x∈[0，
    1
    2
    ]
    ，g(x)=asin(
    π
    3
    x+
    3π
    2
    )-2a+2(a＞0)    ，给出下列结论：
    ①函数f（x）的值域为[0，
    1
    3
    ]    ；
    ②函数g（x）在[0，1]上是增函数；
    ③对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]内恒有解；
    ④若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是
    5
    9
    ≤a≤
    4
    5
    ．
    其中所有正确结论的序号是
     
    ．

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