Question

设函数f（x）=ax²+（1-a）x+1．
（1）若y=xf（x）为奇函数，求a的值；
（2）若a≤0，求y=f（x）在区间[4，6]上的最小值g（a）．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据y=xf（x）为奇函数的定义判断出f（x）为偶函数，求出a的值．
（2）根据二次函数的性质，判断对称轴，与区间的位置关系，分类讨论解决．

解答： 解：（1）∵y=xf（x）为奇函数
∴xf（x）=-[（-x）f（-x）]
即xf（x）=xf（-x），
f（x）=f（-x），
故f（x）为偶函数，
即1-a=0，
故a=1
（2）当a=0时，f（x）=x+1，
∵f（x）在区间[4，6]上，
∴f（x）_min=4+1=5，
当a＜0时，对称轴x=-

1-a

2a

，
①-

1-a

2a

＜5时，即a＜-

1

9

时．
f（x）_min=f（6）=30a+7
②①-

1-a

2a

≥5时，-

1

9

≤a＜0时，
f（x）_min=f（4）=12a+5，
综上：g（a）=

12a+5，- 1 9 ≤a≤0 30a+7，a＜- 1 9

点评：本题考查了函数的奇偶性，对称性，单调性，最值，融合了二次函数的常见的题型考法，难度不大．