Question

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f(x)=

1

2

+log2

x

1-x

的图象上两点，且

OM

=

1

2

(

OA

+

OB

)，O为坐标原点，已知点M的横坐标为

1

2

．
（Ⅰ）求证：点M的纵坐标为定值；
（Ⅱ）定义定义Sn=

n-1

i=1

f(

i

n

)=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)，其中n∈N^*且n≥2，求S₂₀₁₁；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的S_n，设an=

1

2Sn+1

(n∈N*)．若对于任意n∈N^*，不等式ka_n³-3a_n²+1＞0恒成立，试求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由题设条件知M是AB的中点，由中点坐标公式可以求出M点的给坐标．
（II）根据Sn=

n-1

i=1

f(

i

n

)=f(

1

n

)+f(

2

n

)++f(

n-1

n

)，则 Sn=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)++f(

1

n

)以上两式相加后两边再同时除以2就得到S_n，从而求出S₂₀₁₁；
（III）先求出a_n，代入不等式ka_n³-3a_n²+1＞0，要使不等式n³-3n+k＞0对于任意n∈N^*恒成立，即使k＞（-n³+3n）_max即可求出k的范围．

解答：解：（I）依题意由

OM

=

1

2

(

OA

+

OB

)知M为线段AB的中点．
又∵M的横坐标为1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）即

x1+x2

2

=

1

2

?x1+x2=1
∴y1+y2=1+log2(

x1

1-x1

•

x2

1-x2

)=1+log21=1?

y1+y2

2

=

1

2

即M点的纵坐标为定值

1

2

．
 （II）①由（Ⅰ）可知f（x）+f（1-x）=1，
又∵n≥2时 Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)
∴Sn=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+••+f(

1

n

)
两式想加得，2S_n=n-1
Sn=

n-1

2

∴S₂₀₁₁=

2011-1

2

=1005
（III）an=

1

2Sn+1

(n∈N*)．
∴a_n=

1

n

                                                                                
若对于任意n∈N^*，不等式ka_n³-3a_n²+1＞0恒成立，
∴不等式n³-3n+k＞0对于任意n∈N^*恒成立，
即k＞（-n³+3n）_max
∴k＞2
即实数k的取值范围为（2，+∞）

点评：本题考查了数列与函数、函数的图象、不等式等综合内容，函数图象成中心对称的有关知识，考查相关方法，考查了数列中常用的思想方法，如倒序相加法，利用函数与方程的思想，转化与化归思想解答热点问题--有关恒成立问题．