Question

3．已知命题p：函数f（x）=x²+ax-2在（-2，2）内有且一个零点．命题q：x²+2ax+4≥0对任意x∈R恒成立．若命题“p∧q”是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由命题p为真，由于f（-2）f（2）≤0得a≤-1，或a≥1．由命题q为真，由于判别式非负，解不等式可得a的范围．由命题“p且q”是真命题，求出a的范围．由此求补集，能求出实数a的取值范围．

解答 解：若命题p为真，由于判别式为a²+8＞0，
则有f（-2）f（2）≤0，即为（4-2a-2）（4+2a-2）≤0，
解得a≥1或a≤-1；
若命题q为真，由x²+2ax+4≥0对任意x∈R恒成立，
可得△=4a²-16≤0，
解得-2≤a≤2．
当命题“p∧q”是真命题，可得
$\left\{\begin{array}{l}{-2≤a≤2}\\{a≥1或a≤-1}\end{array}\right.$，即为-2≤a≤-1或1≤a≤2，
则命题“p∧q”是假命题时，
a的范围是a＜-2或-1＜a＜1或a＞2．

点评 本题考查命题的真假判断，注意函数性质的灵活运用和零点存在定理的运用，属于中档题．