Question

如图，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁底面边长均为，侧棱长为1，点D在棱A₁C₁上．

(Ⅰ)若D为A₁C₁的中点，求证：直线BC₁∥平面AB₁D；

(Ⅱ)设二面角A₁－AB₁－D的平面角为θ，＝λ(0<λ<1)，试探究当λ为何值时，能使tan θ＝2?

Answer 1

 

(Ⅱ)法一：过点D作DM⊥A₁B₁于M，则DM⊥平面ABB₁A，

过点M作MN⊥AB₁于N，连结DN，则∠MND为二面角A₁－AB₁－D的平面角．(6分)

过点A₁作A₁F⊥AB₁于F，因为＝λ(0<λ<1)，则＝＝，DM＝A₁Dsin 60°＝λ.(8分)

因为A₁A＝1，A₁B₁＝，则AB₁＝，

所以A₁F＝＝.(9分)

因为＝＝＝1－，则MN＝.(10分)

所以tan θ＝＝＝.由已知，＝2，则λ＝.

故当λ＝时，能使tan θ＝2.(13分)

法二：以AB的中点O为原点，如图所示建立空间直角坐标系，则点A，A₁，B₁，C₁.(6分)

因为＝λ(0<λ<1)，则点D.(7分)

设n₁＝(x，y，z)为平面AB₁D的一个法向量，

由·n₁＝0，·n₁＝0，

得n₁＝.(9分)

又n₂＝(1，0，0)为平面AA₁B₁的一个法向量，则

cos〈n₁，n₂〉＝＝＝.(10分)

因为tan θ＝2，则cos θ＝，即cos〈n₁，n₂〉＝，

所以＝.

化简，得5λ²＋16λ－16＝0，即(5λ－4)(λ＋4)＝0.因为0<λ<1，则λ＝.

故当λ＝时，能使tan θ＝2.