Question

已知正方形ABCD，PA⊥平面ABCD，AB=1，PA=t（t＞0），当t变化时，直线PD与平面PBC所成角的正弦值的取值范围是________．

Answer 1

分析：把图形补成直棱柱，作DE⊥CD₁，则DE⊥平面PBCD₁，故∠DPE就是PD与平面PBC所成的角，进而可求其正弦值，利用基本不等式，可求其范围．
解答：把图形补成直棱柱，则
∵BC⊥平面DCC₁D₁，∴平面PBCD₁⊥平面DCC₁D₁，

作DE⊥CD₁，则DE⊥平面PBCD₁，∴∠DPE就是PD与平面PBC所成的角，
DP=，DE==
∴sin∠DPE==＞0
∵≤（当且仅当，即t=1时，取等号）
∴0＜≤
∴直线PD与平面PBC所成角的正弦值的取值范围是
故答案为：
点评：本题考查线面角，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．