Question

【题目】已知函数y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的递增函数，对于任意的x>0，y>0，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且满足f(2)＝1.

(1)求f(1)，f(4)的值；

(2)求满足f(2)＋f(x－3)≤2的x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）f(1)＝0，f(4)＝2；（2）(3,5].

【解析】试题分析：（1）令x＝y＝1，和令x＝y＝2即可得解；

（2）由函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是单调递增函数f(2)＋f(x－3)≤2即为f(2(x－3))≤f(4)，可得，即可得解.

试题解析：

　(1)令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0，

令x＝y＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)＝1＋1＝2，所以f(4)＝2.

(2)由f(2)＝1及f(xy)＝f(x)＋f(y)可得2＝1＋1＝f(2)＋f(2)＝f(4)．

因为f(2)＋f(x－3)≤2.

所以f(2(x－3))≤f(4)．

又函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是单调递增函数，

所以解得3<x≤5.

即x的取值范围为(3,5]．