Question

（2008•宝山区二模）已知直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面四边形ABCD是一个直角梯形，上底边长BC=2，下底边长AD=6，直角边所在的腰AB=2，体积V=32．求异面直线B₁D 与AC₁所成的角α（用反三角函数表示）．

Answer 1

分析：设棱柱的高为h，然后根据体积求出高，以A为坐标原点，分别以

AB

、

AD

、

AA1

所在的直线为x、y、z轴建立直角坐标系，求出

AC1

与

DB1

，最后利用公式cosα=

/ AC1 • DB1 /

/ AC1 ∥ DB1 |/

进行求解即可．

解答：解：设棱柱的高为h，由V=32易求h=4．…（4分）
如图，以A为坐标原点，分别以

AB

、

AD

、

AA1

所在的直线为x、y、z轴建立直角坐标系，…（5分）
则C₁ （2，2，4）、B₁（2，0，4）、D（0，6，0）．

AC1

=(2，2，4)，

DB1

=(2，-6，4)，…（8分）
cosα=

/ AC1 • DB1 /

/ AC1 ∥ DB1 |/

=

1

21

，…（11分）
所以α=arccos

1

21

．…（12分）

点评：本小题主要考查异面直线所成的角，一利用空间向量解立体问题，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．