Question

【题目】如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=CD=AB，∠ABC=60°，将三角形ABD沿BD折起，使点A在平面BCD上的投影G落在BD上．
（1）求证：平面ACD⊥平面ABD；
（2）求二面角G﹣AC﹣D的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在等腰梯形ABCD中，∵AD∥BC，AD=CD=AB，∠ABC=60°，∴∠BAD=120°，从而∠ABD=∠ADB=30°，可得∠BDC=90°，

在三棱锥A﹣BCD中，∵点A在平面BCD上的投影G落在BD上，∴AG⊥BD，于是G为BD中点．

∵ ∴CD⊥面ABD，又CD面ADC，∴平面ACD⊥平面ABD

（2）解：由（1）得AG⊥面BCD，且G为BD中点，CD⊥面ABD，

取BC中点M，则MG∥CD，于是以G为原点，建立如图的空间直角坐标系G﹣xyz，

设AB=1，则BD= ，BC=2，CD=1，于是A（0，0， ），B（ ，0，0）．，C（﹣ ，1，0），D（﹣ ，0，0）

， ．

设面AGC的法向量为 ，由 ，取 ，

设面ADC的法向量为 ，由 ，取

cos＜ ， ＞= ．

二面角G﹣AC﹣D的平面角的余弦值为

【解析】（1）在等腰梯形ABCD中，可得∠ABD=∠ADB=30°，∠BDC=90°，在三棱锥A﹣BCD中，由点A在平面BCD上的投影G落在BD上，得CD⊥面ABD，又CD面ADC，即平面ACD⊥平面ABD；（2）取BC中点M，则MG∥CD，于是以G为原点，建立如图的空间直角坐标系G﹣xyz，设AB=1，则BD= ，BC=2，CD=1，于是A（0，0， ），B（ ，0，0），C（﹣ ，1，0），D（﹣ ，0，0），利用法向量求解．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．