Question

3．已知：椭圆C的对称中心为坐标原点，其中一个顶点为A（0，2），左焦点F（-2$\sqrt{2}$，0）．
（1）求椭圆的方程
（2）是否存在过点B（0，-2）的直线l，使直线l与椭圆C相交于不同的两点M、N，并且|AM|=|AN|？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）．则b=2，c=2$\sqrt{2}$，a²=b²+c²．即可得出．
（2）假设存在过点B（0，-2）的直线l，使直线l与椭圆C相交于不同的两点M、N，并且|AM|=|AN|．不妨设M（0，-2）与B点重合，N（x₁，y₁）．MN的中点为D（x₀，y₀）．设直线l的方程为：y=kx-2，与椭圆方程联立可得根与系数的关系，利用中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．

解答 解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）．
则b=2，c=2$\sqrt{2}$，a²=b²+c²=12．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）假设存在过点B（0，-2）的直线l，使直线l与椭圆C相交于不同的两点M、N，并且|AM|=|AN|．
不妨设M（0，-2）与B点重合，N（x₁，y₁）．MN的中点为D（x₀，y₀）．
设直线l的方程为：y=kx-2，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=kx-2}\end{array}\right.$，化为（1+3k²）x²-12kx=0，
则x₁+0=$\frac{12k}{1+3{k}^{2}}$，
${x}_{0}=\frac{1}{2}{x}_{1}$=$\frac{6k}{1+3{k}^{2}}$，y₀=kx₀-2=$\frac{-2}{1+3{k}^{2}}$．
∴k_AD=$\frac{{y}_{0}-2}{{x}_{0}}$=$\frac{-2-3{k}^{2}}{3k}$．
∵AD⊥MN，
∴k_AD•k=$\frac{-2-3{k}^{2}}{3k}$×k=-1．
解得k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$．
因此假设正确：直线l的方程为：y=$±\frac{\sqrt{3}}{3}x-2$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为与椭圆方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．