【题目】【2017届河北省衡水中学高三上学期六调】已知函数,其中均为实数,为自然对数的底数.
(1)求函数的极值;
(2)设,若对任意的恒成立,求实数的最小值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)由题对 得,研究其单调性,可得当时,取得极大值,无极小值;
(2)由题当时,,由单调性可得在区间上为增函数,根据,构造函数,
由单调性可得在区间上为增函数,不妨设,
则等价于,
即,
故又构造函数,
可知在区间上为减函数,∴在区间上恒成立,
即在区间上恒成立,
∴,设
则,
∵,
∴,则在区间上为减函数,
∴在区间上的最大值,∴,
试题解析:(1)由题得,,
令,得.,
列表如下:
1 | |||
大于0 | 0 | 小于0 | |
极大值 |
∴当时,取得极大值,无极小值;
(2)当时,,
∵在区间上恒成立,
∴在区间上为增函数,
设,
∵在区间上恒成立,
∴在区间上为增函数,不妨设,
则等价于,
即,
设,
则在区间上为减函数,
∴在区间上恒成立,
∴在区间上恒成立,
∴,
设,
∵,
∴,则在区间上为减函数,
∴在区间上的最大值,∴,
∴实数的最小值为.
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【题目】如图,正四棱锥P-ABCD中,底面边长为2,侧棱长为,M,N分别为AB,BC的中点,以O为原点,射线OM,ON,OP分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.若E,F分别为PA,PB的中点,求A,B,C,D,E,F的坐标.
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【题目】成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)数列{bn}的前n项和为Sn,求证:数列是等比数列.
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【题目】【2016高考江苏卷】已知函数.设.
(1)求方程的根;
(2)若对任意,不等式恒成立,求实数的最大值;
(3)若,函数有且只有1个零点,求的值。
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【题目】某公司拟投资100万元,有两种投资方案可供选择:一种是年利率为10%,按单利计算,5年后收回本金和利息;另一种是年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后收回本金和利息.哪一种投资更有利?这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元?(结果精确到0.01万元)
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【题目】若有穷数列(是正整数),满足即(是正整数,且),就称该数列为“对称数列”。例如,数列与数列都是“对称数列”.
(1)已知数列是项数为9的对称数列,且,,,,成等差数列, , ,试求, , , ,并求前9项和.
(2)若是项数为的对称数列,且构成首项为31,公差为的等差数列,数列前项和为,则当为何值时, 取到最大值?最大值为多少?
(3)设是项的“对称数列”,其中是首项为1,公比为2的等比数列.求前项的和 .
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【题目】已知函数f(x)=(λx+1)ln x-x+1.
(1)若λ=0,求f(x)的最大值;
(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+y+1=0垂直,证明:>0.
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【题目】【2017银川一中高考模拟文】一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示,在正方体中,设BC的中点为M,GH的中点为N。
(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);
(2)证明:直线MN∥平面BDH;
(3)过点M,N,H的平面将正方体分割为两部分,求这两部分的体积比.
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