Question

在各项均为正数的数列{a_n}中，已知点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函数y=2x的图象上，且a₂•₅=8
（1）求证：数列{a_n}是等比数列，并求出其通项公式；
（2）若数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=a_n+n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）依题意，a_n+1=2a_n，从而可证数列{a_n}是等比数列，再由a₂•₅=8可求得a₁，继而可求其通项公式；
（2）b_n=a_n+n，利用分组求和的方法即可求得数列{b_n}的前n项和为S_n．

解答：证明：（1）∵点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函数y=2x的图象上，
∴a_n+1=2a_n，即

an+1

an

=2，
∴数列{a_n}是公比为2的等比数列；
设其公比为q，则q=2，
∵a₂•₅=8，
∴a₁q•a₁q⁴=a12•q⁵=8，
∴a12=

8

25

=

1

4

，又数列{a_n}各项均为正数，
∴a₁=

1

2

，
∴a_n=

1

2

×2^n-1=2^n-2；
（2）解：∵b_n=a_n+n=2^n-2+n，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=（2^-1+2⁰+2¹+…+2^n-2）+（1+2+3+…+n）
=

1 2 (1-2n)

1-2

+

(1+n)×n

2

=2^n-1+

1

2

n²+

1

2

n-

1

2

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等比关系的确定，考查分组求和与数列的函数特性，属于中档题．